# Приложение 9. Устойчивость по Ляпунову.

1\) Устойчивость равновесия по Ляпунову означает, что решения уравнения описывающего динамику системы, начинающиеся "достаточно близко" к равновесию , остаются "достаточно близко" навсегда .

2\) <span class="mw-headline" id="bkmrk-%D0%92%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4-%D1%83%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8">Второй метод устойчивости по Ляпунову: </span>

Легче визуализировать этот метод анализа, представив себе физическую систему (например, вибрирующую пружину и массу) и учитывая [энергию](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Energy "Энергия") такой системы. Если система со временем теряет энергию и энергия никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого конечного состояния покоя. Это конечное состояние называется [аттрактором](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Attractor "Аттрактор"). Однако найти функцию, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложно, и для абстрактных математических систем, экономических систем или биологических систем понятие энергии может быть неприменимо. <span style="text-decoration: underline;">Реализация Ляпунова заключалась в том, что устойчивость может быть доказана, не требуя знания истинной физической энергии, при условии, что может быть найдена [функция Ляпунова](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_function "Функция Ляпунова"), удовлетворяющая вышеуказанным ограничениям.</span>

3\) Устойчивость по Ляпунову названа в честь [Александра Михайловича Ляпунова](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Mikhailovich_Lyapunov "Александр Михайлович Ляпунов"), русского математика, защитившего диссертацию "*Общая проблема устойчивости движения*" в Харьковском университете в 1892 году.<sup class="reference" id="bkmrk-%5B1%5D">[\[1\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-lyapunov-1)</sup> А. М. Ляпунов был пионером в успешных попытках разработать глобальный подход к анализу устойчивости нелинейных динамических систем по сравнению с широко распространенным локальным методом их линеаризации относительно точек равновесия. Его работа, первоначально опубликованная на русском языке, а затем переведенная на французский, в течение многих лет не привлекала особого внимания. Математическая теория устойчивости движения, основанная А. М. Ляпуновым, значительно предвосхитила время ее внедрения в науку и технику. Более того, сам Ляпунов не делал приложений в этой области, его собственный интерес заключался в стабильности вращающихся масс жидкости с астрономическим применением. У него не было докторантов, которые следили за исследованиями в области стабильности, и его собственная судьба была ужасно трагичной из-за его самоубийства в 1918 году. На несколько десятилетий теория устойчивости канула в полное забвение. Русско-советский математик и механик [Николай Гурьевич Четаев](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Nikolay_Gur%27yevich_Chetaev "Четаев Николай Гурьевич"), работавший в Казанском авиационном институте в 1930-х годах, был первым, кто осознал невероятную величину открытия, сделанного А. М. Ляпуновым. Вклад в теорию, внесенный Н. Г. Четаевым<sup class="reference" id="bkmrk-%5B2%5D">[\[2\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-2)</sup>, был настолько значительным, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым преемником Ляпунова и следующим в очереди научным потомком в создании и развитии математической теории устойчивости.

Интерес к ней внезапно резко возрос в период [холодной войны](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Cold_War_(1953%E2%80%9362) "Холодная война (1953-62)"), когда было обнаружено, что так называемый "Второй метод Ляпунова" (см. Ниже) применим к устойчивости аэрокосмических [систем наведения](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Guidance_system "Система наведения"), которые обычно содержат сильные нелинейности, не поддающиеся лечению другими методами. Тогда и с тех пор появилось большое количество публикаций в области управления и системной литературы.<sup class="reference" id="bkmrk-%5B3%5D">[\[3\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-letov-3)</sup><sup class="reference" id="bkmrk-%5B4%5D">[\[4\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-rudolf1960-4)</sup><sup class="reference" id="bkmrk-%5B5%5D">[\[5\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-lasalle-5)</sup><sup class="reference" id="bkmrk-%5B6%5D">[\[6\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-parks1962-6)</sup><sup class="reference" id="bkmrk-%5B7%5D">[\[7\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-rudolf1963-7)</sup> Совсем недавно концепция показателя [Ляпунова](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_exponent "Показатель Ляпунова") (связанная с Первым методом обсуждения устойчивости Ляпунова) вызвала широкий интерес в связи с [теорией хаоса](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory "Теория хаоса"). Методы устойчивости по Ляпунову также применялись для нахождения равновесных решений в задачах распределения трафика.<sup class="reference" id="bkmrk-%5B8%5D">[\[8\]](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory#cite_note-smith-8)</sup>

**Источник:** [Устойчивость по Ляпунову](https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.fa8e12c5-64008b26-1b33198f-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_Theory "Устойчивость по Ляпунову")